В профессиональном футболе Клаудио Браво дебютировал в 2002 году в чилийском «Коло-Коло». Успехи молодого голкипера заметили скауты из «Реал Сосьедада». Баскский клуб долго следил за Браво, а перед сезоном 2006/07 подписал пятилетний контракт с игроком. Изначально он рассматривался в качестве второго вратаря, но очень скоро выиграл конкуренцию за место в основе. За 8 лет в «Сосьедаде» Клаудио стал каптианом команды, а также в сезоне 2009/10 запомнился забитым голом со штрафного в матче с «Химнастиком».

В 2014 году Браво перешел в «Барселону», где за 2 сезона выиграл 6 трофеев. В составе каталонцев он сумел провести рекордную для Ла Лиги «сухую» серию, проведя на ноль 8 первых матчей чемпионата. В 2016 лично Хосеп Гвардиола пригласил Браво в «Манчестер Сити», нуждаясь в опытном вратаре, способным хорошо играть ногами. Первый сезон в Англии Клаудио с трудом адаптировался, совершая большое количество ошибок.

Больших успехов Браво достиг со сборной Чили, в составе которой провел более 100 матчей. В 2015 и 2016 году он выиграл два Кубка Америки, будучи капитаном сборной. Он также был признан лучшим вратарем по итогам этих турниров. Всего же со сборной Браво участвовал в пяти Кубках Америки и на двух чемпионатах мира.