Хуан Гильермо Куадрадо Бельо родился 26 мая 1988 года на северо-западе Колумбии в городе Некокли. Молодёжную карьеру начал в клубе "Атлетико Ураба", где первое время использовался на позиции центрального нападающего, но впоследствии был переведён на фланг полузащиты. В 2003-м году его заметили скауты медельинского клуба "Индепендьенте", куда он с радостью перебрался, и именно с этим клубом Куадрадо заключил свой первый профессиональный контракт.

Хуан не стал надолго задерживаться в Южной Америке, уже в 2009-м году перебравшись в Европу, где подписал долгосрочный контракт с итальянским клубом "Удинезе". Долгое время колумбийцу не удавалось добиться статуса основного игрока, и такой расклад его, разумеется, не устраивал. Летом 2011-го года Куадрадо на правах аренды перебрался в "Лечче", который в то время выступал в Серии А, а ещё через год отыграл сезон в аренде в "Фиорентине".

Первый сезон во Флоренции получился для Куадрадо очень успешным - он провёл 36 матчей в чемпионате, забив 5 голов, чем помог "Фиорентине" финишировать в чемпионате на четвёртом месте. "Фиалки" приняли решение выкупил колумбийского полузащитника, не пожалев на его покупку 20 миллионов евро. В следующих сезонах Хуан Куадрадо стабильно участвовал с флорентийцами в еврокубках, но большего добиться никак не удавалось.

Трофеи же Куадрадо начал выигрывать с 2015-го года, когда в зимнее межсезонье перебрался в "Челси", который выкупил его за 31 миллион евро. Уже в дебютном сезоне в Лондоне Хуан стал чемпионом Англии, а также обладателем Кубка английской лиги. Тем не менее доказать свою незаменимость в "Челси" он не сумел, и Жозе Моуринью согласился отпустить его в аренду в "Ювентус".

Несмотря на то, что в "Ювентусе" Куадрадо зачастую использовался в качестве "джокера", игровую практику он получал регулярно, и был всем доволен в Турине. Два сезона он провёл в "Юве" на правах аренды, и летом 2017-го года итальянский клуб, наконец, решил выкупить колумбийца на постоянной основе, заплатив за уже 29-летнего игрока 20 миллионов евро. В "Ювентусе" Куадрадо начал коллекционировать чемпионские медали за триумфы туринцев в Серии А и Кубке Италии. В 2017-м году Хуан добрался с командой до финала Лиги чемпионов, но выиграть евротрофей не удалось - поражение от "Реала" (1:4).

Куадрадо дебютировал в составе сборной Аргентины 3 сентября 2010 года в товарищеском матче с Венесуэлой (2:0), в котором сразу отметился забитым голом. Выступал на Кубках Америки в 2011, 2015 и 2016 годах. Турнир 2016-го года принёс в его коллекцию наград бронзовую медаль континентального первенства. Был участником чемпионата мира по футболу 2014-го года, на котором сборная Колумбии добралась до четвертьфинала. На мундиале в Бразилии Куадрадо принял участие во всех пяти матчах.