Давид Оспина родился 31 августа 1988 года в Медельине. Заниматься футболом начал в родном городе в академии клуба "Атлетико Насьональ". Профессиональную карьеру начал в родном клубе в 17-летнем возрасте. За три года в колумбийском чемпионате отыграл почти сотню матчей, став чемпионом страны в 2007-м году.

Летом 2008-го года Оспина отправился в Европу, подписав контракт с французской "Ниццой", которая выкупила его за 2 миллиона евро. Он был призван заменить Уго Льориса, который перебрался в "Лион". Тем не менее Оспина заиграл не сразу - пару месяцев ему понадобилось на адаптацию в новой команде. Тем не менее после этого Оспина прочно прописался в воротах "Ниццы" на годы.

Уже в 2012-м году Давид Оспина начал намекать о том, что хочет сменить клубную прописку для нового вызова, но клуб не горел желанием расставаться с вратарём, вешая на него отпугивающий ценник. Но в 2014-м году "Ницца" была вынуждена расстаться с колумбийцем, чтобы выручить за него хоть какие-то деньги, поскольку продлевать контракт с французами Оспина не собирался, и за 4 миллиона евро он был продан в лондонский "Арсенал".

Первые полгода в "Арсенале" Давид Оспина преимущественно сидел на скамейке за спиной поляка Войцеха Щесны. До зимнего межсезонья он сыграл лишь два матча - в Кубке лиги с "Саутгемптоном" (1:2), а также выйдя на замену в матче Лиги чемпионов с Галатасараем (4:1), после удаления Щесны во втором тайме. Но во второй половине сезона Оспине удалось стать основным вратарём в "Арсенале". Он стал обладателем Кубка Англии, хотя за весь турнир сыграл всего 1 матч. Но с сезона с сезона 2015/2016 шансы Давида Оспины остаться основным вратарём "Арсенала" понизились практически до нуля, так как клуб подписал опытного Петра Чеха. Колумбиец смирился с ролью резервиста, тем более ему доверяли место в составе в кубковых соревнованиях, в том числе в Лиге чемпионов. В сезоне 2016/2017 Оспина снова стал победителем Кубка Англии, на этот раз сыграв полный финальный матч с "Челси" (2:1).

Давид Оспина дебютировал в национальной сборной Колумбии уже в возрасте 20-ти лет в отборочном матче чемпионата мира 2010-го года с Боливией (2:0). После этого он провёл ещё 5 матчей на турнире, но не смог помочь своей команде квалифицироваться на мундиаль. Но спустя 4 году колумбийцы уже уверенно отобрались на мировое первенство в Бразилию, где добрались до четвертьфинала, но проиграли хозяевам первенства - Оспина на турнире отыграл все 5 матчей. Также Давид отыграл на двух Кубках Америки, в 2016-м году завоевав со сборной бронзовые медали. В отборе на чемпионат мира 2018 отыграл все 18 матчей. В финальной части мирового первенства в России Давид также будет принимать участие в качестве основного вратаря сборной.