Камило Варгас родился 9 марта 1989 года в Богота. Начал заниматься футболом в родном городе в академии клуба "Санта-Фе", с которым и подписал первый профессиональный контракт в 2007-м году. Тем не менее дебютировал за основную команду Варгас только в августе 2009-го года. В том же году получил золотую медаль обладателя Кубка Колумбии.

В 2011-м году Варгас отметился первым забитым голом в карьере, когда на последних минутах при счёте 0:0 в матче с "Мильонариос" пришёл в чужую штрафную площадку на подачу углового и головой отправил мяч в сетку. Спустя 3 года забил второй свой гол, когда партнёры доверили ему пробитие пенальти. В "Санта-Фе" Варгас оставался до конца 2014-го года, став чемпионом Апертуры, Клаусуры, а также обладателем Суперкубка Колумбии.

Новым клубом Камило Варгаса стал "Атлетико Насьональ", с которым он стал чемпионом Клаусуры. Но после этого вратарь начал путешествовать по арендам, поиграв полгода в "Аргентинос Хуниорс", а также два года проведя в клубе "Депортиво Кали".

За национальную сборную Колумбии Камило Варгас дебютировал только 11 октября 2014 года в товарищеском матче против Сальвадора (3:0). До этого ездил на чемпионат мира в Бразилию, но весь турнир просидел на скамейке запасных. За два отборочных цикла на мировое первенство 2014 и 2018 годов не сыграл ни одного матча, всё время оставаясь в тени Давида Оспины.